Cálculo
Exercícios de limites e derivadas resolvidos
Dez exercícios de escolha múltipla de cálculo diferencial. Escolhe a resposta e abre a resolução para ver o raciocínio completo.
Exercícios: limites e derivadas
Escolhe uma opção em cada pergunta e abre a resposta para confirmar.
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Pergunta 1 de 10
Calcula lim (x→2) de (x² − 4) / (x − 2).
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Resposta certa: C) 4. Substituir dá 0/0. Fatoriza: (x² − 4) = (x − 2)(x + 2). Simplificando, fica lim (x→2) (x + 2) = 4.
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Pergunta 2 de 10
Quanto vale lim (x→0) de sen(x) / x?
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Resposta certa: D) 1. É um limite notável. Pode justificar-se pelo teorema das funções enquadradas ou pela derivada de sen(x) em 0, que é cos(0) = 1.
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Pergunta 3 de 10
Calcula lim (x→+∞) de (3x² + 1) / (x² − 5).
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Resposta certa: A) 3. Divide numerador e denominador por x²: (3 + 1/x²) / (1 − 5/x²) → 3/1 = 3. Com graus iguais, o limite é o quociente dos coeficientes de maior grau.
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Pergunta 4 de 10
Qual é a derivada de f(x) = x³?
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Resposta certa: B) 3x². Regra da potência: (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹. Com n = 3, f′(x) = 3x². x⁴/4 é uma primitiva, não a derivada.
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Pergunta 5 de 10
Qual é a derivada de f(x) = e^(2x)?
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Resposta certa: C) 2e^(2x). Regra da cadeia: (e^u)′ = u′·e^u. Com u = 2x, u′ = 2, logo f′(x) = 2e^(2x).
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Pergunta 6 de 10
Qual é a derivada de f(x) = ln(x² + 1)?
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Resposta certa: D) 2x / (x² + 1). (ln u)′ = u′/u. Com u = x² + 1, u′ = 2x, logo f′(x) = 2x / (x² + 1).
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Pergunta 7 de 10
Qual é a derivada de f(x) = x·sen(x)?
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Resposta certa: A) sen(x) + x·cos(x). Regra do produto: (u·v)′ = u′v + uv′. Com u = x e v = sen(x): 1·sen(x) + x·cos(x).
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Pergunta 8 de 10
f(x) = x² − 4x + 1. Em que ponto f tem um mínimo?
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Resposta certa: B) x = 2. f′(x) = 2x − 4 = 0 ⇔ x = 2. Como f″(x) = 2 > 0, é um mínimo. O valor mínimo é f(2) = 4 − 8 + 1 = −3.
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Pergunta 9 de 10
Qual é a equação da reta tangente ao gráfico de y = x² no ponto de abcissa 1?
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Resposta certa: C) y = 2x − 1. Declive: y′ = 2x, em x = 1 dá 2. Ponto: (1, 1). Reta: y − 1 = 2(x − 1) ⇔ y = 2x − 1.
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Pergunta 10 de 10
Quanto vale lim (x→0) de (1 + x)^(1/x)?
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Resposta certa: D) e. É um limite notável que define o número de Neper: lim (x→0) (1 + x)^(1/x) = e ≈ 2,718. É uma indeterminação do tipo 1^∞.
Como estudar limites e derivadas para o exame
Nos limites, começa sempre por substituir. Se der uma indeterminação (0/0, ∞/∞, ∞ − ∞, 1^∞), escolhe a técnica: fatorizar, dividir pelo termo de maior grau, multiplicar pelo conjugado ou recorrer a um limite notável.
Nas derivadas, domina as regras base (potência, produto, quociente) e sobretudo a regra da cadeia, que aparece em quase todos os exercícios com exponenciais, logaritmos e funções trigonométricas.
Termina com aplicações: monotonia e extremos (estudo do sinal de f′), concavidades (f″) e reta tangente. São as perguntas com mais cotação nos testes.
Perguntas frequentes
O que é a regra da cadeia?
É a regra para derivar funções compostas: (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x). Por exemplo, a derivada de sen(3x) é 3cos(3x).
Quais são os limites notáveis mais usados?
lim (x→0) sen(x)/x = 1, lim (x→0) (eˣ − 1)/x = 1, lim (x→0) ln(1 + x)/x = 1 e lim (x→+∞) (1 + 1/x)ˣ = e.
Perguntas de exemplo, de nível introdutório, para treino. Confirma sempre com o programa e a bibliografia da tua cadeira.
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